Sur les algèbres obtenues par produit tensoriel. Application aux algèbres de Lie de courant
نویسندگان
چکیده
Soit P une opérade quadratique. On détermine une opérade associée P̃ ayant la propriété suivante, pour toute P-algèbre A et toute P̃-algèbre B alors A⊗B est une Palgèbre pour le produit classique. On s’intéresse ensuite au cas particulier des algèbres de Lie de courant en étudiant plus précisément la rigidité et les déformations. 1 Produit tensoriel de P-algèbres et de P -algèbres Soit P une opérade quadratique ayant une opération génératrice (les algèbres sur cette opérade ont une seule opération) et P ! son opérade duale. Elle vérifie P ! = hom(P ,Lie) où Lie désigne l’opérade des algèbres de Lie. Pour toute P-algèbre A et toute P -algèbre B, l’espace vectoriel A ⊗ B est naturellement muni d’une structure d’algèbre de Lie avec μ(a1 ⊗ b1, a2 ⊗ b2) = μA(a1, a2)⊗ μB(b1, b2)− μA(a2, a1)⊗ μB(b2, b1) ; on en déduit que le produit tensoriel sur A⊗B défini par μ(a1 ⊗ b1, a2 ⊗ b2) = μA(a1, a2)⊗ μB(b1, b2) (1) où μA (resp. μB) désigne le produit de A (resp. de B) détermine une structure d’algèbre Lie-admissible sur A⊗B. Ceci peut se généraliser au cas des algèbres à plusieurs opérations génératrices comme les algèbres de Poisson. Dans [3] nous avons défini les opérades Gi−Ass. Une Gi−Ass-algèbre est nécessairement Lie-admissible. Dans le cas de ces opérades quadratiques nous pouvons munir A ⊗ B non corresponding author: e-mail: [email protected] [email protected].
منابع مشابه
Sur les algèbres n-aires définies par les produits de Gerstenhaber
On étudie les algèbres définies par une multiplication n-aire donnée par les produits de Gerstenhaber. On montre que dans le cas où n est impair, il n’existe pas de cohomologie de type Hochschild (ou opéradique). On définit donc un nouveau complexe de cohomologie. On étudie également l’algèbre libre sur un espace vectoriel de dimension finie ce qui permet de construire l’opérade quadratique ass...
متن کاملCalcul Algébrique non linéaire dans les algèbres de Dickson
Résumé : Cette note débute par une comparaison des propriétés respectives des cadres algébriques fournis par Clifford(1878) et Dickson(1914). Puis l’étude se concentre sur la non associativité et l’anisométrie de la multiplication. Elle met en pleine lumière le rôle central joué par les octonions dans le Calcul Algébrique non linéaire effectué dans les algèbres de Dickson sans division. Elle ex...
متن کاملMultiplicative Dirac structures on Lie groups
We study multiplicative Dirac structures on Lie groups. We show that the characteristic foliation of a multiplicative Dirac structure is given by the cosets of a normal Lie subgroup and, whenever this subgroup is closed, the leaf space inherits the structure of a Poisson-Lie group. We also describe multiplicative Dirac structures on Lie groups infinitesimally. Résumé Nous étudions les structure...
متن کاملLE COMPLEXE BAR ITÉRÉ DES En-ALGÈBRES COMME UN DIAGRAMME HOMOTOPIQUE SUR LA CATÉGORIE DES ARBRES ÉLAGUÉS par
Résumé. — On a montré dans un précédent travail que le complexe bar n-itéré usuel des algèbres commutatives s’étend aux En-algèbres et détermine l’homologie naturelle associée à cette catégorie d’algèbres. On montre dans cet article que le complexe bar n-itéré d’une En-algèbre forme un diagramme sur un remplacement cofibrant de la catégorie des arbres élagués à n niveaux – une variante de la ca...
متن کامل